精选高中模拟试卷
鄞州区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知函数f（x）=x2﹣6x+7，x∈（2，5]的值域是（ ） A．（﹣1，2]
B．（﹣2，2]
C．[﹣2，2] D．[﹣2，﹣1）
2． 如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是（ ）
A． = B．∥ C． D．
．其中符号为
3． 给出下列各函数值：①sin100°；②cos（﹣100°）；③tan（﹣100°）；④负的是（ ） A．①
B．②
C．③
D．④
4． 阅读右图所示的程序框图，若m8,n10，则输出的S的值等于（ ） A．28 B．36 C．45 D．120
5． 将正方形的每条边8等分，再取分点为顶点（不包括正方形的顶点），可以得到不同的三角形个数为（ ） A．1372 B．2024 C．3136 D．4495
6． 函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，|φ|＜只要将f（x）的图象（ ）
）的图象如图所示，为了得到g（x）=sin2x的图象，则
A．向右平移C．向左平移
B．向右平移个单位长度
个单位长度 D．向左平移
个单位长度 个单位长度
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7． 设函数F（x）=是定义在R上的函数，其中f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x）对于x
∈R恒成立，则（ ） A．f（2）＞e2f（0），f C．f（2）＞e2f（0），f
B．f（2）＜e2f（0），f D．f（2）＜e2f（0），f
8． 某校在暑假组织社会实践活动，将8名高一年级学生，平均分配甲、乙两家公司，其中两名英语成绩优秀学生不能分给同一个公司；另三名电脑特长学生也不能分给同一个公司，则不同的分配方案有（ ） A．36种 B．38种 C．108种
D．114种
等（ ）
9． 如图，空间四边形ABCD中，M、G分别是BC、CD的中点，则
A． B． C．
D．
10．已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时 f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有（ ） A．10个 B．9个
11．sin（﹣510°）=（ ） A．
B．
C．﹣ D．﹣
C．8个
D．1个
12．若函数f（x）=loga（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（ ） A．（﹣∞，）
B．（﹣，+∞）
C．（0，+∞）
D．（﹣∞，﹣）
二、填空题
13．已知面积为
的△ABC中，∠A=
若点D为BC边上的一点，且满足
=
，则当AD取最小时，
BD的长为 ． 14．函数
的单调递增区间是 ．
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y215．已知实数x，y满足3xy30，目标函数z3xya的最大值为4，则a______．
2xy20【命题意图】本题考查线性规划问题，意在考查作图与识图能力、逻辑思维能力、运算求解能力． 16．抛物线y2=8x上到顶点和准线距离相等的点的坐标为 ．
17．命题：“∀x∈R，都有x3≥1”的否定形式为 ．
18．已知数列{an}满足a1=1，a2=2，an+2=（1+cos2
2
）an+sin
，则该数列的前16项和为 ．
三、解答题
19．已知椭圆
：
的长轴长为，点
，
为坐标原点．
在椭圆
上，求
的最小值．
（Ⅰ）求椭圆C的方程和离心率； （Ⅱ） 设动直线与y轴相交于点
关于直线的对称点
20．如图，在底面是矩形的四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=2，E是PD的中点． （1）求证：平面PDC⊥平面PAD；
（2）求二面角E﹣AC﹣D所成平面角的余弦值．
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21．命题p：关于x的不等式x2+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立，q：函数f（x）=（3﹣2a）x是增函数．若p∨q为真，p∧q为假．求实数a的取值范围．
22．（本题12分）已知数列{xn}的首项x13，通项xn2npnq（nN，p，为常数），且x1，x4，x5成等差数列，求：
（1）p，q的值；
（2）数列{xn}前项和Sn的公式. 23．
24．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x （1）求f（x）最小正周期； （2）求f（x）在区间[
]上的最大值和最小值．
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鄞州区第三中学校2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参） 一、选择题
1． 【答案】C
【解析】解：由f（x）=x2
﹣6x+7=（x﹣3）2
﹣2，x∈（2，5]．
∴当x=3时，f（x）min=﹣2． 当x=5时，
．
∴函数f（x）=x2
﹣6x+7，x∈（2，5]的值域是[﹣2，2]． 故选：C．
2． 【答案】D
【解析】解：由图可知，，但
不共线，故
，
故选D．
【点评】本题考查平行向量与共线向量、相等向量的意义，属基础题．
3． 【答案】B
【解析】解：：①sin100°＞0，②cos（﹣100°）=cos100°＜0，③tan（﹣100°）=﹣tan100＞0， ④∵sin
＞0，cosπ=﹣1，tan
＜0，
∴＞0，
其中符号为负的是②， 故选：B．
【点评】本题主要考查三角函数值的符号的判断，判断角所在的象限是解决本题的关键，比较基础．
4． 【答案】C
【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．Snn1nnm11223mCmn，当m8,n10Cm82nC10C1045，选C．
5． 【答案】
C
【解析】
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时，精选高中模拟试卷
【专题】排列组合．
点在另一条边，根据分类计数原理可得． 上，有4种方法，
【分析】分两类，第一类，三点分别在三条边上，第二类，三角形的两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶【解答】解：首先注意到三角形的三个顶点不在正方形的同一边上．任选正方形的三边，使三个顶点分别在其
33
再在选出的三条边上各选一点，有7种方法．这类三角形共有4×7=1372个．
另外，若三角形有两个顶点在正方形的一条边上，第三个顶点在另一条边上，则先取一边使其上有三角形的两个顶点，有4种方法， 4×21×21=17个． 故选：C．
再在这条边上任取两点有21种方法，然后在其余的21个分点中任取一点作为第三个顶点．这类三角形共有综上可知，可得不同三角形的个数为1372+17=3136．
【点评】本题考查了分类计数原理，关键是分类，还要结合几何图形，属于中档题． 6． 【答案】A
【解析】解：根据函数的图象：A=1 又解得：T=π 则：ω=2 当x=解得：
，f（
）
个单位即可．
）=sin（
+φ）=0
所以：f（x）=sin（2x+
要得到g（x）=sin2x的图象只需将函数图象向右平移故选：A
【点评】本题考查的知识要点：函数图象的平移变换，函数解析式的求法．属于基础题型
7． 【答案】B 【解析】解：∵F（x）=∴函数的导数F′（x）=∵f′（x）＜f（x），
，
=
，
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∴F′（x）＜0，
即函数F（x）是减函数，
2
则F（0）＞F（2），F（0）＞F＜ef（0），f，
故选：B
8． 【答案】A
【解析】解：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑特长学生，则有3种情况；英语成绩优秀学生的分配有2种可能；再从剩下的3个人中选一人，有3种方法． 根据分步计数原理，共有3×2×3=18种分配方案．
②甲部门要1个电脑特长学生，则方法有3种；英语成绩优秀学生的分配方法有2种；再从剩下的3个人种选2个人，方法有33种，共3×2×3=18种分配方案． 由分类计数原理，可得不同的分配方案共有18+18=36种， 故选A．
【点评】本题考查计数原理的运用，根据题意分步或分类计算每一个事件的方法数，然后用乘法原理和加法原理计算，是解题的常用方法．
9． 【答案】C
【解析】解：∵M、G分别是BC、CD的中点， ∴∴故选C
=
，
==
+ +
=
+
=
【点评】本题考查的知识点是向量在几何中的应用，其中将键．
10．【答案】A
化为++，是解答本题的关
【解析】解：作出两个函数的图象如上
∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数 ∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化， 在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数， 在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数， 且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，
再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，
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且当x=1时y=0； x=10时y=1，
再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，
故选：A．
【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题．
11．【答案】C
【解析】解：sin（﹣510°）=sin（﹣150°）=﹣sin150°=﹣sin30°=﹣， 故选：C．
12．【答案】D
2
【解析】解：当x∈（0，）时，2x+x∈（0，1），
∴0＜a＜1，
22
∵函数f（x）=loga（2x+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=logat和t=2x+x复合而成，
0＜a＜1时，f（x）=logat在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间． t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣）， ∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣）， 故选：D． 大于0条件．
【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数
二、填空题
13．【答案】
【解析】解：AD取最小时即AD⊥BC时，根据题意建立如图的平面直角坐标系， 根据题意，设A（0，y），C（﹣2x，0），B（x，0）（其中x＞0）， 则
=（﹣2x，﹣y），
=（x，﹣y）， ，
．
∵△ABC的面积为
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∴∵
=
cos
⇒=9，
=18，
22
∴﹣2x+y=9，
∵AD⊥BC， ∴S=•由故答案为：
•
=得：x=
． ⇒xy=3
， ，
【点评】本题考查了三角形的面积公式、利用平面向量来解三角形的知识．
14．【答案】 [2，3） ．
【解析】解：令t=﹣3+4x﹣x＞0，求得1＜x＜3，则y=
2
，
本题即求函数t在（1，3）上的减区间．
利用二次函数的性质可得函数t在（1，3）上的减区间为[2，3）， 故答案为：[2，3）．
15．【答案】3
【解析】作出可行域如图所示：作直线l0：3xy0，再作一组平行于l0的直线l：3xyza，当直线
l经过点M(,2)时，za3xy取得最大值，∴(za)max327，所以zmax7a4，故
a3．
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16．【答案】 （ 1，±2
） ．
2
【解析】解：设点P坐标为（a，a）
依题意可知抛物线的准线方程为x=﹣2 a2+2=
，求得a=±2
）
∴点P的坐标为（ 1，±2故答案为：（ 1，±2
）．
【点评】本题主要考查了两点间的距离公式、抛物线的简单性质，属基础题．
17．【答案】 ∃x0∈R，都有x03＜1 ．
3
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题：“∀x∈R，都有x≥1”的否定形式为：命题：“∃x0∈R，都有x0＜1”．
3
3
故答案为：∃x0∈R，都有x0＜1．
【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．
18．【答案】 546 ．
*
【解析】解：当n=2k﹣1（k∈N）时，a2k+1=a2k﹣1+1，数列{a2k﹣1}为等差数列，a2k﹣1=a1+k﹣1=k；
*
当n=2k（k∈N）时，a2k+2=2a2k，数列{a2k}为等比数列，
．
∴该数列的前16项和S16=（a1+a3+…+a15）+（a2+a4+…+a16） =（1+2+…+8）+（2+22+…+28） =
=36+29﹣2 =546．
+
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故答案为：546．
【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及前n项和公式、“分类讨论方法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】【知识点】圆锥曲线综合椭圆 【试题解析】（Ⅰ）因为椭圆C：所以故所以椭圆因为所以离心率
，
， ，解得
的方程为
， ．
，
，
， ．
，
（Ⅱ）由题意，直线的斜率存在，设点则线段且直线由点
的中点的斜率
的坐标为
，
，得直线
，
，
，则
，得
．
，
，
，
关于直线的对称点为
故直线的斜率为所以直线的方程为：令由化简，得所以
，得
，且过点
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． 当且仅当所以
，即
的最小值为
．
时等号成立．
20．【答案】
【解析】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊆平面ABCD，∴PA⊥CD ∵AD⊥CD，PA、AD是平面PAD内的相交直线，∴CD⊥平面PAD ∵CD⊆平面PDC， ∴平面PDC⊥平面PAD； （2）取AD中点O，连接EO， ∵△PAD中，EO是中位线，∴EO∥PA ∵PA⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD， ∵AC⊆平面ABCD，∴EO⊥AC 过O作OF⊥AC于F，连接EF，则 ∵EO、OF是平面OEF内的相交直线， ∴AC⊥平面OEF，所以EF⊥AC ∴∠EFO就是二面角E﹣AC﹣D的平面角 由PA=2，得EO=1，
在Rt△ADC中，设AC边上的高为h，则AD×DC=AC×h，得h=∵O是AD的中点，∴OF=×∵EO=1，∴Rt△EOF中，EF=∴cos∠EFO=
=
=
=
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【点评】本题给出特殊的四棱锥，叫我们证明面面垂直并求二面角的余弦值，着重考查了平面与平面所成角的求法和线面垂直的判定与性质等知识，属于中档题．
21．【答案】
22
【解析】解：设g（x）=x+2ax+4，由于关于x的不等式x+2ax+4＞0对一切x∈R恒成立， ∴函数g（x）的图象开口向上且与x轴没有交点，
2
故△=4a﹣16＜0，∴﹣2＜a＜2． x
又∵函数f（x）=（3﹣2a）是增函数，
∴3﹣2a＞1，得a＜1．
又由于p或q为真，p且q为假，可知p和q一真一假． （1）若p真q假，则（2）若p假q真，则
，得1≤a＜2；
，得a≤﹣2．
综上可知，所求实数a的取值范围为1≤a＜2，或a≤﹣2．
22．【答案】（1）p1,q1；（2）Sn2n12n(n1). 2第 14 页，共 16 页
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考
点：等差，等比数列通项公式，数列求和.
23．【答案】一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为[5，15]，（15，25]，（25，35]，（35，45]，由此得到样本的重量频率分布直方图（如图），
（1）求a的值，并根据样本数据，试估计盒子中小球重量的众数与平均值；
（2）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在[5，15]内的小球个数为X，求X的分布列和数学期望．（以直方图中的频率作为概率）
【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差． 【专题】概率与统计．
【分析】（1）求解得a=0.03，由最高矩形中点的横坐标为20，可估计盒子中小球重量的众数约为20 根据平均数值公式求解即可．
（2）X～B（3，），根据二项分布求解P（X=0），P（X=1），P（X=2）=求解数学期望即可．
【解析】解：（1）由题意得，（0.02+0.032+a+0.018）×10=1
，P（X=3），列出分布列，
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解得a=0.03；
又由最高矩形中点的横坐标为20， 可估计盒子中小球重量的众数约为20， 而50个样本小球重量的平均值为：
=0.2×10+0.32×20+0.3×30+0.18×40=24.6（克） 故估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克．
（2）利用样本估计总体，该盒子中小球的重量在[5，15]内的0.2； 则X～B（3，）， X=0，1，2，3； P（X=0）=P（X=1）=P（X=2）=P（X=3）=
×（）3=×（）2×=
； ；
；
×（）×（）2=×（）3=
，
∴X的分布列为： X 0 P 即E（X）=0×
1 =．
2 3 【点评】本题考查了离散型的随机变量及概率分布列，数学期望的求解，注意阅读题意，得出随机变量的数值，准确求解概率，难度不大，需要很好的计算能力
24．【答案】
2
【解析】解：（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+
sin（2x+），
∴它的最小正周期为（2）在区间=0， 当2x+
=
=π． 上，2x+
∈[
，
]，故当2x+
=
时，f（x）取得最小值为 1+
×（﹣
）
时，f（x）取得最大值为 1+×1=1+．
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