2020考研数学之线性代数基础测试题6

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

0a01．设abc≠0，则三阶行列式b0c的值是（ ）

0d0A．a B．-b C．0

D．abc

0202．若三阶方阵A等价于矩阵000，则A的秩是（ ） 001A．0 B．1 C．2

D．3

3．设A为n阶方阵，且A3=E，则以下结论一定正确的是（ ） A．A=E

B．A不可逆 C．A可逆，且A-1=A

D．A可逆，且A-1=A2

4．设A为3阶矩阵，若|A|=k，则|-kA|是（ ） A．-k4 B．-3k C．-k

D．k3

5．设α1，α2，α3线性相关，则以下结论正确的是（ ） A．α1，α2一定线性相关

B．α1，α3一定线性相关 C．α1，α2一定线性无关

D．存在不全为零的数k1，k2，k3使k1α1+k2α2+k3α3=0

6．设u1, u2是非齐次线性方程组Ax=b的两个解，则以下结论正确的是（A．u 1+ u 2是Ax=b的解

B．u 1- u 2是Ax=b的解 C．k u 1是Ax=b的解（这里k≠1）

D．u 1- u 2是Ax=0的解

7．设3阶矩阵A的特征值为1，3，5，则A的行列式|A|等于（ ） A．3 B．4 C．9

D．15

138．设矩阵A=2231，则A是（ ） 22A．正交矩阵 B．正定矩阵

） C．对称矩阵 D．反对称矩阵

29．二次型f(x1, x2)=x16x1x24x22的矩阵是（ ）

12A． 4416C． 04

13

B． 3415D． 142是矩阵

10．设ξ1，ξA．ξ1+ξC．ξ1,ξ

A的属于特征值λ的特征向量，则以下结论正确的是（ ）

B．2ξ

1是λ

2是λ

对应的特征向量

对应的特征向量

2一定线性相关 D．ξ1，ξ2一定线性无关

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1234124511．矩阵A=的秩为_____________.

1101212．排列12453的逆序数为_____________.

13．设A，B为3阶方阵，且|A|=9，|B|=3，则|-2AB-1|=_____________. 14．矩阵A满足A3=0，则（E-A）-1=_____________.

115．已知向量α1=[3，5，8，8]，α2=[-1，5，2，0]，则(3αα2)_____________. 15216．设A为m×n矩阵，且A的n个列向量线性无关，则矩阵AT的秩为_____________. 17．设A是秩为2的4×5矩阵，则齐次线性方程组Ax=0的解集合中线性无关的解向量个

数为_____________.

18．设P为n阶正交矩阵，x是一个n维列向量，且||x||=3，则||Px||=_____________. 19．设A为3阶实对称矩阵，α=[1，1，3]T，β=[4,5,a]T分别是属于A的相异特征值λ1与

λ

2的特征向量,则

a=_____________.

2220.设二次型f(x1, x2, x3)=x12x22x32x1x3的正惯性指数为p,负惯性指数为q，则

p-q=_____________.

三、计算题（本大题共6小题，每小题8分，共48分） 1021．计算行列式

111001232313 041322．设A=14，B为3阶矩阵，且它们满足A-1B=6E+B，求B. 1723．求向量组α1=[2，1，1]，α2=[4，2，1]，α3=[5，2，1]，α4=[1，0，1]的一个最大线

性无关组，并将其它向量用此最大线性无关组线性表示.

24．求下列齐次线性方程组的一个基础解系，并以此写出其结构式通解. x1x25x3x40x1x22x33x40 

3xx8xx02341x13x29x37x40122,2,1225．设3阶矩阵A的特征值为1，2，3，相应的特征向量为，求A. 2122226．已知二次型f(x1,x2,x3)5x125x2ax32x1x26x1x36x2x3的秩是2.

（1）求参数a.

（2）将f(x1,x2,x3)化为规范形.

四、证明题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）

27．设向量组α1，α2，α3线性无关，证明2α1+3α2，α2+4α3，5α3+α1线性无关. 28．设A为n阶正定矩阵，B是与A合同的n阶矩阵，证明B也是正定矩阵.