三角函数及其有关概念讲解+习题

第七章 三角函数及其有关概念

一、角的概念

1. 角 角是以一点为公共端点的两条射线组成的图形.公共端点叫做角的顶点, 两条射线叫做角的边。

B2.正角、负角、零角 正角与负角是由旋转的

方向决定的，我们把按逆时针方向旋转所形成的角 叫做正角，把按顺时针方向旋转

所形成的角叫做负角， 如果一条 Ao射线没有作任何旋转，它就形成一个数值为0的角， 我们把这个角叫做零角。 7.13．终边相同的角 具有相同的终边的角叫做终边相同的角，如图图7.1中的和就是终

边相同的角。

①终边相同的角不一定相等，但相等的角，终边一定相同； ②终边相同的角有无数多个，它们相差360°的整数倍，如：

一与k360(kZ)，与k360(kZ)，与k360(kZ)都是终边相同的

角。

17，则与终边相同的最小正角是多少？ 61717777解  236066666177 所以，与终边相同的最小正角是。

6620例 设，则与终边相同的绝对值最小的负角是多少？

32020444解  4360y333334(,)(,)所以，所求之角是。 34. 象限角 在平面直角坐标系中，我们将角的顶点置在坐 o标原点，角的始边与轴的正半轴重合，这样一来，角的终边落 x在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角，如与都是 第一象限的角。若角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何 (,)(,)个象限,我们称其为界限角。

图7.2例 900是第几象限的角？

解 9002360，所以900是第二象限的角。 例：-572。是（ ）象限的角。 5、角的度量

1）. 角度制 当射线绕端点逆时针方向旋转使终边与始边第一次重 r1合时所形成的角叫做周角，规定1周角为360º。1周角的为1度， 1弧度360r2）. 弧度制 等于半径长的圆弧所对的圆心角称为1弧度的角。用弧 o度作单位来测量角的制度叫做弧度制。1弧度也记为1rad例 设

图7.3如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

规定正角的的弧度数为正数，负角的的弧度数为负数，零角的弧度数为零。

3）.角度与弧度的换算关系

2弧度360, 1弧度360弧度57.305717, 10.017435弧度 2180几个常用的特殊角的角度与弧度的换算关系如下表：

0 0 30º 60º 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 300º 330º 360º 25 36211 例 150º是多少弧度？弧度是多少角度

6 6 3 7 68 63 25 311 62 解 15015018011111805(弧度)330 （弧度）， 666二、任意角的三角函数

1. 任意角的概念 锐角是大于0º 而小于90º的角，在直角坐标系中，顶点在原点，始边在x轴正半轴，终边在任意象限中的角叫做任意角。

2. 任意角的三角函数 设直角坐标系中任一点P(x,y)是角终边上的任意一点，它与坐标原点的

yxyx距离为r(r0)，则比值,,,分别叫做角的正弦、余弦、正切、余切即：

rrxyyyxsin, cos, rryxtan, cot,

xy(,)(,)o(,)xP(x,y)(,)(1)sincsc1、(2)sin2图7.43. 任意角的三角函数值的正负 任意角的三角函数值的正负由角的终边所在的象限决定，见图7.5

cos21、



yo

xyo

xy

sin, csc4. 特殊角的三角函数值 tan, cot图7.5oxcos, sec

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30º 45º 60º 90º 120º 150º 180º 270º 360º  61 23 23 3 42 22 2 33 21 2 21 2 33 21 25 61 23 2 0 3 22 0 sin cos 1 0 不存在 0 0 不存在 0 1 0 不存在 1 0 不存在 tan cot 1 1 3 3 33 3 33 33 3 例：已知角a的终边通过点p(3,4),则sina+cosa+tana=( ) 解：根据点P知a在第一象限，第一象限四个三角函数都为正 角a的终边通过点P（3，4），边始默认为x轴，那么tan a = 4 /3 ; 那么斜边为5 ;

sin a = 4 /5 ; cos a = 3 / 5 ; 所以sina+cosa+tana等于41/15 例 sin3cos3tan3313313 222例 与330度终边相同的角的集合为（{xx2k330,kz} ）。 例 与-15度终边相同的角的集合为（{xx2k15,kz} ）。

cot0试确定是第几象限的角 sin解 (1)cot0 , sin0

由cot0 知，是第一或第三象限的角，由sin0 知，是第一或第二象限的

角，所以 是第一象限的角 (2) cot0 , sin0

由cot0 知，是第二或第四象限的角，由sin0 知，是第三或第四象限的角，所以 是第四象限的角

所以，是第一或第四象限的角

例 已知是锐角且sin0.8，求cos、tan、cot

1解 是锐角且sin0.8可得函数关系如图7.7，因此：0.8例 已知



0.6图7.7如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载!

cos练习： 一、选择题

0.60.810.60.6， tan1， cot0.75 10.630.81.若α是第一象限角，则下列各角中一定为第四象限角的是 ( C ) (A) 90°-α

(B) 90°+α (C)360°-α

(D)180°+α

2.终边与坐标轴重合的角α的集合是 ( A ) (A){α|α=k·360°，k∈Z} (C){α|α=k·180°，k∈Z}

(B){α|α=k·180°+90°，k∈Z}

(D){α|α=k·90°，k∈Z}

3.已知角θ的终边上有一点P（-4a,3a（)a≠0）,则2sinθ+cosθ的值是 ( C ) (A) 2

5 (B) -2 (C) 2或 -2 (D) 不确定

555解：sinα=y/r，cosα=x/r，x=-4a,y=3a,r=5|a|

当a>0时，sinα=3/5,cosα=-4/5 当a<0时，sinα=-3/5,cosα=4/5

4.设A是第三象限角，且|sin|= -sin,则是 ( D ) (A) 第一象限角

5A2A2A2 (B) 第二象限角 (C) 第三象限角 (D) 第四象限角

5.已知sinα=4，且α为第二象限角，那么tanα的值等于 （ B ） (A)4

3

(B)4 (C)3

34 (D)

34二.填空题

1.终边落在x轴负半轴的角α的集合为 . 解：{x2k,kz}

2. -23πrad化为角度应为 . 12解：-

2323180345 12123若sinθ·cosθ＞0, 则θ是第 一、三 象限的角;

解：sinθ·cosθ＞0，说明sinθ与cosθ同号，所以θ为第一或第三象限。 4.已知：P(-2，y)是角θ终边上一点，且sinθ= -5、求下列三角函数值：（1）sin5,求cosθ的值. 51117)． ；（2）sin(63111sin(2)sin()sin；解：（1）sin66662

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173)sin(6)sin． 33327．设tan=1,且cos<0,则sin=( )

（2）sin(A. 2211 B.  C. D. 222217，sincos，则tan等于（ ）

5543（A） （B） （C）1 （D）－1

349 已知sincossincos1 ①①+②得：882sin=55, tan=2sin=5=4 , 7 ②①-②得：62cos63sincos2cos=55510已知<<，则sin2sin4=

2（A） sinco （B）sinco （C）sin2 （D）sin2

(sincos>0时)sincos，242222sinsin=sin（1sin）=sincos=sincos=sincos,(sincos<0)时

24∵<<, ∴sin>0,cos<0, sincos<0, ∴sinsin=sincos211、设sin=1，为第二象限角，则cos= 2=1503231（A） （B） （C） （D） 2cos150=222

（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）