线性代数试卷及答案详解

试卷类别：闭卷考试时间：120分钟

考试科目：线性代数考试时间：学号：姓名：

题号	一	二	三	四	五	六	七	总分
得分
阅卷人
一．单项选择题（每小题3分，共30分） 1．设7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png经过初等行变换变为9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png，则（）.(下面的72b60df4b7638f94cac211b967ba66.png分别表示矩阵6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png的秩)。 34881ad8328f38eda684620f5e7b174f.png0e358ede2f608fcc20050c9eba6f55c2.png；327f700d8ee165271a40d39d01af9d09.png2920df9258b10f25d384f5e338b911.png； b9e83869c795cf66e6d9d0a4e17be5.png8ac1e1fc3e3d035fee815327f5ff4a.png；96771d2ca10ae26b187976302292e7b6.png无法判定8bfab44980be99905baf24743d9b3365.png与d7212b4a33874885d8ffcf887eff372c.png之间的关系。 2．设7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为7f5279c2e980e48b35fdd47f6dda9f6d.png阶方阵且223f37e096830eb6bf729121f70419f2.png，则（）。 34881ad8328f38eda684620f5e7b174f.png7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png中有一行元素全为零；327f700d8ee165271a40d39d01af9d09.png7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png有两行（列）元素对应成比例； 112bc469ab9fcc9aefb4076709fdad9d.png7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png中必有一行为其余行的线性组合；96771d2ca10ae26b187976302292e7b6.png7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的任一行为其余行的线性组合。 3.设6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png是7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png阶矩阵(a4f9f0663b2a0597c2fc0e75738ec8.png),13d75f41e3c6e74ae9f76e7c38d5b8d9.png,则下列结论一定正确的是:() 4．下列不是7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png维向量组788d0bc91fad998106ef914886c6305b.png线性无关的充分必要条件是（） 34881ad8328f38eda684620f5e7b174f.png存在一组不全为零的数ea9814bad98d1bdd67e92fe7e76cbb4e.png使得8d8d734ff0802029f5f3d1197d6268de.png； 327f700d8ee165271a40d39d01af9d09.png不存在一组不全为零的数ea9814bad98d1bdd67e92fe7e76cbb4e.png使得7b59d335929f01c53560251f81435876.png ca47c6b3f1201e2b157b13819561ba.png的秩等于03c7c0ace395d80182db07ae2c30f034.png； e93626e836f62aed514a5653bc0ec25f.png中任意一个向量都不能用其余向量线性表示 5．设7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png阶矩阵dd69206753212e56f7dc066f9c221507.pngc74f0c290fcca6e03c3773420b9c94f6.png，若矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的秩为47425da90092a0727c15c009fac9f866.png，则0cc175b9c0f1b6a831c399e269772661.png必为（）。 34881ad8328f38eda684620f5e7b174f.png1；327f700d8ee165271a40d39d01af9d09.png8cdbe45d0c440a476f848cf40df4334c.png；112bc469ab9fcc9aefb4076709fdad9d.png768a1ed60006f190faf91d734c1c8236.png；96771d2ca10ae26b187976302292e7b6.png274181d36f4b6c2cdd4aa7c041877f65.png. 6．四阶行列式a04ddcf8ed25727f18cfb5c5946d5232.png的值等于（）。 34881ad8328f38eda684620f5e7b174f.pngb811fd7463c9cb914b1c1fd1a7d30ea1.png；327f700d8ee165271a40d39d01af9d09.png5f8a0fa5c075a3e0ab40144754687790.png； 112bc469ab9fcc9aefb4076709fdad9d.png6139ecc0b20b9fdd5fe909c4ba12cd0b.png；96771d2ca10ae26b187976302292e7b6.pnga9c33f78cc838a78dc29a7fe5b3dd4.png. 7．设7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为四阶矩阵且36a671a2de993add90ed990f3728da.png，则7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的伴随矩阵a8e4ea27d784e9db028f97c9f167de72.png的行列式为（）。 34881ad8328f38eda684620f5e7b174f.png92eb5ffee6ae2fec3ad71c777531578f.png；327f700d8ee165271a40d39d01af9d09.pnga96f0cb529028f4b4e8c9848f247dc4e.png；112bc469ab9fcc9aefb4076709fdad9d.png291b69a87f60c88a1b98d6fe7bd74aa1.png；96771d2ca10ae26b187976302292e7b6.png1f22c5104dee96fed97d23bd76bdf8.png 8．设7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png阶矩阵满足c56e1c076eca1f4dfeaf84905faaae59.png，dc60eb508514bc29846abcd66b5201fc.png为7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png阶单位矩阵,则1223601dad62da96a33a0ae7ef1d3dc7.png（　　） cd7c13a6191ec2fd5876f2ab85708ecd.png；　4fa43f29e0c775f0f4ad37843dcc4590.png；　　e26d343983d485f7aafae1bbbd834c.png；　　4ff304237f42cb090cbff7df277713.png　a49017d4b6eae29198337396708a4c1f.png 9．设7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png，9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png是两个相似的矩阵，则下列结论不正确的是（）。 34881ad8328f38eda684620f5e7b174f.png7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png与9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的秩相同；327f700d8ee165271a40d39d01af9d09.png7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png与9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的特征值相同； 112bc469ab9fcc9aefb4076709fdad9d.png7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png与9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的特征矩阵相同；96771d2ca10ae26b187976302292e7b6.png7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png与9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png的行列式相同； 10．设7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png阶矩阵,则7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png以cfcd208495d565ef66e7dff9f987da.png为特征值是70c4d4967045da493638fe53c7b5db.png的（）。 34881ad8328f38eda684620f5e7b174f.png充分非必要条件；327f700d8ee165271a40d39d01af9d09.png必要非充分条件； 112bc469ab9fcc9aefb4076709fdad9d.png既非充分又非必要条件；96771d2ca10ae26b187976302292e7b6.png充分必要条件； 二．填空题（每小题3分，共18分） 1．计算行列式c76959a902d6fe1493280a265a58c3.png。 2.a702a6ef6e5d0c7f9eabc009783dbb.png_______________________。 3．二次型247084aff133c79f50d1d306762976c0.png对应的对称矩阵为。 4．已知b94d9eb088688cdf0ce9a193f81dac.png，7ce72fe17a0e5953615084194b6ccf.png，e36efe065a2a81dec5426fd143509556.png是欧氏空间77b86c217ae495cb457040fd5a2bfa3f.png的一组标准正交基，则向量567b6c0f74477f41ee1100fcf99a8588.png在这组基下的坐标为。 5．已知矩阵911aa8cca814dac2e17afa527829fde5.png的特征值为e4d7cf8c686773bfb8f5fd50d0a13c86.png则52a07ce46212cbc2298415c5fca6e075.png___________。 6．设391ba748878db1fd12717e244469d4.png均为3维列向量，记矩阵4ac270067ce3b4e9b2a29860f0e79ad8.png，0366d7d60d7a5afbcf0ac5da3b8b90bd.png d01d9b1aea17be76da053c2915becd2a.png。如果26b6a27ebf0df073778373a3e5e15b1a.png，则d054e731278cb7233b36c05f467f4213.png。 三．(8分)e5f6540c58346798f8030945bc125b92.png,求02129bb861061d1a052c592e2dc6b383.png。 四．（10分）设向量组3fc09ffc221e656c759eca7c24c07f28.png，b00c943451956f477a21c51528bca6.png，b30fc3d34f23de12b6fe3fc6a56a0271.png，49c4bf7f752cdf7e059eede56296a0.png，b79418746c8e24903329c9a070130ece.png。试求它的秩及一个极大无关组，并把其余向量用该极大无关组线性表示。 五．（12分）讨论线性方程组f3da5ada6220db47dbc70f2a2635adf5.png解的情况，并在有无穷多解时求其解。 六．（14分）设a17801d583eda7b758e55f509fceff0b.png，（1）、求出7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的所有特征值和特征向量；（2）、求正交矩阵b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png，使得2ae98108fe3c7e37ec576d456ee73b.png为对角矩阵。 七．（8分）对任意的矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png,证明： (1)fdce93e42855a3bd8edc6c7ab4c14cef.png为对称矩阵,c42cf8086d4e057354cae43e997fdc03.png为反对称矩阵； (2)7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png可表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。

《线性代数A》参（A卷）

一、单项选择题（每小题3分，共30分）

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
B	C	D	A	B	D	C	C	C	D

二、填空题（每小题3分，共18分）

1、256；2、ed6729fe90cb60d55142fe7a5c2377.png；3、fb9ee4ee3dd024c7d5fc86937d2b506f.png；

4、7a478a6b8e0e8427b5ed91feb987b471.png；5、4；6、2。

三．解：因为矩阵A的行列式不为零,则A可逆,因此b76271b3a862c8f9750e2f7806714554.png.为了求708f82161ea9e1959e02ac631d3f2f23.png,可利用下列初等行变换的方法：

―――――（6分）

所以96defff6208b3b21de92f198aef999e0.png.―――――（8分）

四．解：对向量组8797e4de61bdbcad41a610f6c0d2fc1e.png作如下的初等行变换可得：

de0369a68e80e1a7058d5b6bd7c18656.png――――（5分）

从而8797e4de61bdbcad41a610f6c0d2fc1e.png的一个极大线性无关组为d7450c7341f39b4faa1c53936a610175.png，故秩23dd9506fa4bb329c08e515238a5c8c1.png＝2（8分）

且efea9d328b1f45bad3d252d5a681fd9c.png，73399505e4722f27e6269a5f382c8462.png，2405fdd1794dc71203bd63e7be55872a.png――――（10分）

五．解：对方程组的增广矩阵进行如下初等行变换：

(1)当bc0f7fb8c60cf77dc31d8e9d87c11352.png即3f13933e48e4ef0f62b33e5ccce75dd8.png系数矩阵与增广矩阵的秩均为3,此时方程组有唯一解.――――（5分）

(2)当b3f950785b1dd16ea63a433e9c0cf68e.png系数矩阵的秩为1,增广矩阵的秩为2,此时方程组无解.――――（6分）

(3)当8b700a8d9e738ec9465eed80bed95c48.png此时方程组有无穷多组解.

方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为

故原方程组与下列方程组同解:

令e6e166cb52d5af48ce4c5b8a975d5005.png可得上述非齐次线性方程组的一个特解348265ba978212483adee9c1b46f8286.png;

它对应的齐次线性方程组79ccbc1d7d65b17e991e76aec569b174.png的基础解系含有一个元素,令8c86a4e263355524f6e2c7caf2587323.png可得

828e0ba4ce26d1a62d9edab5c7a1a69f.png为该齐次线性方程组的一个解,它构成该齐次线性方程组的基础解系.

此时原方程组的通解为827143a56269b1d655454f404b08b786.png――――（12分）

六．解：（1）由于7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的特征多项式7b1d5b10cf92a9206b96bbff858e5f05.png

故7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的特征值为b577d1b212fd657084fca53cdfd71059.png（二重特征值），cb818131002d67c956f65580a87541df.png。――――（3分）

当b577d1b212fd657084fca53cdfd71059.png时，由cbf109138f63b00d21a0b63d184752.png，即：1b2922b00308b58bfa333317a113.png得基础解系为5601fdb178be1eb63e5fab4d8f3d69d2.png，故属于特征值b577d1b212fd657084fca53cdfd71059.png的所有特征向量为d16e818c0a7ca3fd9f6538b112b616de.png,3b18bd697b6d8ffe0b28fd24e1f9b861.png不全为零的任意常数。――――（6分）

当cb818131002d67c956f65580a87541df.png时，由e90a1fe3ba2162e729353cbbbe1bac.png，即：58095b85417f55b4517cad576ee6a34a.png得基础解系为832057ee51593f9f8cb54c332728ae4f.png，故属于特征值f0730224f145d2bef7bb207097685a42.png的所有特征向量为5ace02cb9e203320c8053f31fae75f.png,011c4acaeda4fae1ab46ce53669dd4b7.png为非零的任意常数。

------(8分)

(2)将d7450c7341f39b4faa1c53936a610175.png正交化可得：d29ec5d34be3469521292c191feecdcc.png。

再将其单位化得：bdd3f0de7c10aa8bf26547a5e24f411b.png

将ad16953ede7558bc884e447f02fe5340.png单位化得：78fc2a66d52f270cfdad1d103a0d0139.png。――――（12分）

则a93c8c8a8a3bc0cc99ecae5a59be2ae2.png是7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的一组单位正交的特征向量，令e5fee5127f94fb963f8bdaa5f3432810.png

则b9ece18c950afbfa6b0fdbfa4ff731d3.png是一个正交矩阵，且495ab3545edeb30116c7bc44d5bd0fa3.png。――――（14分）

七．证明：(1)因为e45d1a5b52c6588379dea345748ccf25.png,因此fdce93e42855a3bd8edc6c7ab4c14cef.png为对称矩阵。

――――（2分）

同理,因为3737e696a467ebbd1dd98235d45ea972.png,因此c42cf8086d4e057354cae43e997fdc03.png为反对称矩阵。――――（4分）

(2)因为b1cff01ed093be50a4c6af4061aadc.png――――（6分）

而由(1)知565e88af7e25545b7e5169a007da0402.png为对称矩阵,6671ff7fecf52aa83a33d3e0f1821e1a.png为反对称矩阵,因此任何矩阵7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。――――（8分）