【单元练】高中物理必修2第七章【万有引力与宇宙航行】经典练习题(3)

一、选择题

1．如图所示，A为地球表面赤道上的待发射卫星，B为轨道在赤道平面内的实验卫星，C为在赤道上空的地球同步卫星，已知卫星C和卫星B的轨道半径之比为2：1，且两卫星的环绕方向相同，下列说法正确的是（ ）

A．卫星B、C运行速度之比为2：1 B．卫星B的向心力大于卫星A的向心力

C．同一物体在卫星B中对支持物的压力比在卫星C中大 D．卫星B的周期为62hD 解析：D A．根据

GMmv2m 2rr知

vGM r所以B、C的运行速度之比为2:1，故A错误；

B．由于不知两卫星质量关系，所以无法比较两卫星向心力大小，故B错误； C．物体在B、C卫星中均处于完全失重状态物体对支持物的压力均为零，故C错误； D．根据

Mm2G2mr rT得

2r3 T2GM所以B、C的运行周期之比为

TBrB32 3TCrC4又

TC24h

所以卫星B的周期为62h，故D正确。 故选D。

2．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g；地球自转的周期为T，引力常量为G，则地球的半径为（ ）

(g0g)T2A． 24解析：A

(g0g)T2B． 24g0T2C． 24gT2D．A

42在地球两极，物体所受重力等于万有引力，即有

mg0GMm R2在赤道处，物体所受万有引力和支持力的合力提供向心力，其中支持力的大小等于物体的重力，则有

GMm42mg=m2R 2RT联立解得

(g0g)T2 R24故选A。

3．已知地球表面的重力加速度为g，地面上空离地面高度等于地球半径的某点有一卫星恰好经过，该卫星的质量为m，则该卫星在该点的重力大小为（ ） A．mg 解析：D

由万有引力提供向心力，在地面上有

B．

1mg 2C．mg

131D．mgD

4GMmmg R2由万有引力提供向心力，在地面上空离地面高度等于地球半径的某点有

G联立求得

MmR+Rmg2mg

1mg 41则该卫星在该点的重力大小为mg，所以D正确；ABC错误；

4故选D。

4．已知一质量为m的物体分别静止在北极与赤道时对地面的压力差为ΔN，假设地球是质量分布均匀的球体，半径为R。则地球的自转周期为（ ）

A．T=2π解析：A

mR NB．T=2πN mRC．T=2πmN RD．T=2πRA mN在北极，物体所受的万有引力与支持力大小相等，在赤道处，物体所受的万有引力与支持力的差值提供其随地球自转的向心力，由题意可得

42Nm2R

T解得

T2故选A。

mR N5．天文单位是天文学中计量天体之间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离。已知哈雷彗星近日距离大约为0.6个天文单位，其周期为76年，只考虑太阳对其引力，而忽略其它星体对其影响，则其远日距离约为（ ）（3764.2） A．4.2个天文单位 B．18个天文单位 C．35个天文单位 D．42个天文单位C 解析：C

设地球与太阳之间的距离为R，即一个天文单位，则彗星近日点距离太阳约0.6R，设远日

a3点距离为r，根据开普勒第三定律2k，对于地球和彗星有

TR3a32 2T1T2其中

T11年

T276年

a带入解得

0.6Rr 2r35R

即35个天文单位。 故选C。

6．2020年7月23日12时41分，我国在文昌航天发射场，用长征五号遥四运载火箭成功发射我国首枚火星探测器“天问一号”。发射后“天问一号”将在地火转移轨道飞行约7个月后，到达火星附近，通过“刹车”完成火星捕获，进入环火轨道，然后进行多次变轨。进入近火圆轨道，最终择机开展着陆、巡视等任务。如图为“天问一号”环绕火星变轨示意图，

下列说法正确的是（ ）

A．发射“天问一号”的最小发射速度为7.9km/s

B．“天问一号”在轨道3上经过A点的速度大于在轨道2上经过A点的速度 C．“天问一号”在轨道3上经过A点的加速度大于在轨道1上经过A点的加速度 D．“天问一号”在轨道2上经过A点的机械能小于在轨道1上经过B点的机械能D 解析：D

A．“天问一号”要离开地球到达火星，所以“天问一号”的最小发射速度要大于第二宇宙速度，A错误；

B．“天问一号”由轨道2到轨道3是经过“刹车”完成的，所以轨道3上经过A点的速度小于在轨道2上经过A点的速度，B错误；

C．轨道上的加速度由万有引力提供的，所以“天问一号”在轨道3上经过A点的加速度等于在轨道1上经过A点的加速度，C错误；

D．“天问一号”在轨道2上经过A点的动能小于在轨道1上经过A点的动能，所以在轨道2上经过A点的机械能小于在轨道1上经过A点的机械能，而卫星在同一轨道上运动时，机械能守恒，所以“天问一号”在轨道2上经过A点的机械能小于在轨道1上经过B点的机械能，D正确。 故选D。

7．地球赤道上有一物体随地球的自转，所受的向心力为F1，向心加速度为a1，线速度为v1，角速度为ω1；绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略），所受的向心力为F2，向心加速度为a2，线速度为v2，角速度为ω2；地球的同步卫星所受的向心力为F3，向心加速度为a3，线速度为v3，角速度为ω3；地球表面的重力加速度为g，第一宇宙速度为v，假设三者质量相等，则（ ） A．F1=F2>F3 C．v1=v2=v>v3 解析：D

地球同步卫星的运动周期与地球自转周期相同，角速度相同，即

ω1=ω3

根据关系式v=ωr和a=ω2r可知

v1＜v3，a1＜a3

人造卫星和地球同步卫星都围绕地球转动，它们受到的地球的引力提供向心力，即

B．a1=a2=g>a3 D．ω1=ω3＜ω2D

GMmv22mmr=ma 2rr可得

vGMGMGM，a2， rrr3v2>v3，a2>a3，ω2>ω3

可见，轨道半径大的线速度、向心加速度和角速度均小，即

绕地球表面附近做圆周运动的人造卫星（高度忽略）的线速度就是第一宇宙速度，即

v2=v

其向心加速度等于重力加速度，即

a2=g

所以

v=v2>v3>v1，g=a2>a3>a1，ω2>ω3=ω1

又因为F=ma，所以

F2>F3>F1

故选D。

8．2020年诺贝尔物理学奖授予黑洞研究。黑洞是宇宙空间内存在的一种密度极大而体积较小的天体，黑洞的引力很大，连光都无法逃逸。在两个黑洞合并过程中，由于彼此间的强大引力作用，会形成短时间的双星系统。如图所示，黑洞A、B可视为质点，不考虑其他天体的影响，两者围绕连线上O点做匀速圆周运动，O点离黑洞B更近，黑洞A质量为m1，黑洞B质量为m2，AB间距离为L。下列说法正确的是（ ）

A．黑洞A与B绕行的向心加速度大小相等 B．黑洞A的质量m1大于黑洞B的质量m2

C．若两黑洞质量保持不变，在两黑洞间距L减小后，两黑洞的绕行周期变小 D．若两黑洞质量保持不变，在两黑洞间距L减小后，两黑洞的向心加速度变小C 解析：C

A．两黑洞绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们的角速度相等，向心加速度

a2r

由于两黑洞的相等而r不同，则它们的向心加速度不相等，故A错误； B．万有引力提供向心力，两黑洞做圆周运动时的向心力大小相等，则

m12r1m22r2

由题意可知：r1r2，则：m1m2，故B错误； C．万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得

G由几何知识得

m1m22222m()rm()r2 1122LTTr1r2L

解得

L3T2 G(m1m2)若两黑洞质量保持不变，但两黑洞间距离L逐渐减小，则两黑洞的绕行周期T均逐渐减小，故C正确；

D．万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得

G解得

m1m2m1a1m2a2 L2Gm2Gm1a， 2L2L2a1若两黑洞质量保持不变，但两黑洞间距离L逐渐增大，则两黑洞的向心加速度大小均逐渐减小，故D错误。 故选C。

9．2020年7月23日12时41分，我国在海南文昌航天发射场，用长征五号遥四运载火箭将“天问一号”火星探测器发射升空，并成功送入预定轨道，迈出了我国自主开展行星探测的第一步。假设火星和地球绕太阳公转的运动均可视为匀速圆周运动。某一时刻，火星会运动到日地连线的延长线上，如图所示。下列选项正确的是（ ）

A．“天问一号”在发射过程中处于完全失重状态

B．图示时刻发射“天问一号”，可以垂直地面发射直接飞向火星 C．火星的公转周期大于地球的公转周期

D．从图示时刻再经过半年的时间，太阳、地球、火星再次共线C 解析：C

A．“天问一号”在发射过程中，加速度竖直向上，处于超重状态，故A错误；

B．由于火星与地球绕太阳公转的周期不同，所以图示时刻垂直地面发射“天问一号”，不可能直接飞向火星，故B错误； C．根据万有引力提供向心力

G可得它们绕太阳公转的周期的公式

Mm22mR() R2T42R3 TGM由于R火R地，故T火T地，故C正确；

D．地球绕太阳公转的周期为一年，由于火星，地球绕太阳公转的周期不同，所以从图示

时刻再经过半年的时间，太阳、地球、火星不可能再次共线，故D错误。 故选C。

10．嫦娥工程分为三期，简称“绕、落、回”三步走。我国发射的“嫦娥三号”卫星是嫦娥工程第二阶段的登月探测器，该卫星先在距月球表面高度为h的轨道上绕月球做周期为T的匀速圆周运动，再经变轨后成功落月。已知月球的半径为R，引力常量为G，忽略月球自转及地球对卫星的影响。则以下说法正确的是（ ） A．“嫦娥三号”绕月球做匀速圆周运动时的线速度大小为B．物体在月球表面自由下落的加速度大小为C．月球的平均密度为

2R T

234（Rh）TR223 GT2D．在月球上发射月球卫星的最小发射速度为解析：B

2RTRhB RA．“嫦娥三号”卫星绕月球做匀速圆周运动，轨道半径为

rRh

则它绕月球做匀速圆周运动的线速度大小为

2r2Rh vTT故A错误；

BC．在月球表面，重力等于万有引力，则得

GMmmg 2R对于“嫦娥三号”卫星绕月球做匀速圆周运动过程，由万有引力提供向心力得

GMm42m(Rh)  (Rh)2T2联立解得月球的质量为

42(Rh)3 M2GT物体在月球表面自由下落的加速度大小为

42(Rh)3 gT2R2月球的平均密度为

MM3(Rh)3234VGTR 3 R3故B正确，C错误；

D．设在月球上发射卫星的最小发射速度为v，则有

GMmmv2 2RR解得在月球上发射月球卫星的最小发射速度为

vgR故D错误； 故选B。

2RhRh TR二、填空题

11．一物体在地球表面重16N，它在以5m/s2 的加速度加速上升的火箭中的视重为9N，（已知地球表面的重力加速度是10m/s2），则此时火箭离地面的距离为地球半径的______倍。3 解析：3

以物体为研究对象，物体的质量为

m根据牛顿第二定律得

G1.6kg g FNmg'ma

得此时火箭所在处重力加速度

g'10gm/s2 1616设地球的质量为M，火箭离地高度为h，根据万有引力等于重力得

mg'又在地面上时

GMm

(Rh)2mg联立解得

GMm R2h3R

12．人造卫星在其轨道上受到的地球引力是它在地球表面上所受引力的

1，那么此人造卫9星的轨道离地表的高度是地球半径的_____倍；如果人造卫星的轨道半径r=5R0（R0是地球半径），则它的向心加速度a0=_____m/s2（g取9.8m/s2）。0392 解析：0.392

[1]地球半径为R0，人造卫星的轨道半径为r，根据万有引力提供向心力可知，在轨道上受到的地球引力F1解得

GMmGMmF，在地球表面受到地球引力，其中F29F1，联立222Rr0r3R0

则人造卫星的轨道离地表的高度时地球半径的2倍 [2]如果r=5R0时，根据万有引力提供向心加速度可知

GMmma0 2r地球表面的重力加速度

mg解得

GMm R022R0Ra02g(0)2g0.392m/s2

r5R013．宇航员到达一个半径为R、没有大气的星球上，捡起一个小石子将其沿水平方向以速度v0抛出，得出石子运动的频闪照片的一部分如图所示。已知背景方格最小格子的边长为L，频闪周期为T，完成下面的问题。

(1)石子抛出的初速度v0_______； (2)该星球表面附近的重力加速度g______； (3)该星球的第一宇宙速度v1______。 解析：

5L2L2LR 2 TTTxv0T

(1)[1]由图可知，相邻两点之间的水平距离为5L，则由平抛运动的公式得

则

v0x5L TT(2)[2]由图可知，相邻两点之间竖直距离的差值为2L，则根据

xgT22L

得

gx2L2 2TT(3)[3]在星球表面的物体的重力等于所受万有引力，即

G则

Mmmg 2R2LR2 GMgRT22绕该星球运行的天体的向心力由所受万有引力提供，为

Mmv2G2m rr当

rR

则该星球的第一宇宙速度为

v1GMR2LR T14．天体飞临某个行星，并进入行星表面的圆轨道飞行，设该行星为一个球体，已经测出该天体环绕行星一周所用的时间为T，那么这颗行星的密度是___________。（已知万有引力常量为G）

解析：

3πGT2

[1]根据万有引力提供向心力得

GMmR2解得

42m2R T42R3 MGT2根据密度公式得

42R32M3GT2 4VGT3R315．如图所示，在距一质量为M、半径为R、密度均匀的球体R处有一质量为m的质点，此时球体对质点的万有引力F1=______；若以球心O为中心挖去一个质量为剩下部分对质点的万有引力F2=________。

M的球体，则2

GMmGMm 4R28R2[1]根据万有引力定律可知

解析：

F1G[2]挖去部分对质点的万有引力为

MmGMm 2(2R)4R2MmMmFG22G2

(2R)8R则

F2F1FGMmMmGMmG 2224R8R8R16．一行星绕恒星做圆周运动。由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则行星运动的加速度为_________，恒星的质量为___________。

2vv3T 解析：T2G(1)行星运动的加速度为

ar(2)根据

2v TMmv2G2m rr恒星的质量

v2rv3T MG2G17．地球赤道上有一物体随地球的自转，向心加速度为 a1，近地卫星的向心加速度为 a2，地球的同步卫星向心加速度为 a3，设地球表面的重力加速度为 g，则 a2______a3，a1______g（选填“大于”、“小于”或“等于”）。大于小于 解析：大于 小于 [1]万有引力提供向心力

G解得

Mmma r2GM r2a近地卫星的轨道半径小于同步卫星的轨道，所以

a2a3

[2]同步卫星和赤道上的物体同轴转动，根据a2r可知

a3a1

结合[1]中分析方法可知

ga3

所以

a1g

18．某卫星离地高度h3R（R为地球半径），若已知地球表面的重力加速度是g，则该卫星做匀速圆周运动的线速度是_________；若已知地球质量为M，引力常量为G，则该卫星做匀速圆周运动的线速度是__________． 解析：11GMgR 22RMmmg R2[1]．在地球表面上：

GMmv2 其中r=4R 根据G2mrr解得

vGM1gR r2[2]．若已知地球质量为M，引力常量为G，根据

Mmv2G2m rr该卫星做匀速圆周运动的线速度是

v1GM．

2R19．“天宫二号”被称为是我国首个真正意义上的空间实验室，是继“天宫一号”后中国自主研发的第二个空间实验室，“天宫二号”的发射将全面开启中国空间实验室任务，为我国未来空间站建设打下重要基础．设“天宫二号”在距地面高为h的圆形轨道上绕地球做匀速圆周运动，已知地球的质量为M、半径为R，引力常量为G，且不考虑地球自传的影响．则“天宫二号”绕地球运动的线速度大小为________，周期为________，向心加速度大小为________．

GMGM42(Rh)3 解析：2 (Rh)RhGM[1]设天宫二号质量为m，万有引力提供向心力，根据万有引力定律和牛顿第二定律则有：

GMmmv2

(Rh)2Rh解得线速度：

v[2] 万有引力提供向心力，则有：

GM Rh2m4Rh GMm 22(Rh)T解得周期：

T2Rh[3]根据万有引力提供向心力得：

Rh GMGMmma 2(Rh)解得向心加速度：

aGM

(Rh)220．若地球半径减小1%，而其质量不变，则地球表面重力加速度g的变化情况是_______（填“增大”、“减小”、“不变”），增减的百分比为____________%。（取一位有效数字）增

加2％

解析：增加 2％ 在地球表面有

G解得

Mmmg， 2RGM， R2若地球半径减小1%，而其质量不变，则g增大， 地球表面的重力加速度增加量为

gg解得：

GM0.99R2GM11GM[]222， R0.99RRGM， 2Rg0.02即增加了2％。

三、解答题

21．“玉兔号”登月车在月球表面成功登陆，实现了中国人“奔月”的伟大梦想，若“玉兔号”登月车在月球表面做了一个自由落体实验，测得物体从静止自由下落h高度的时间为t，已知月球半径为R，引力常量为G，不考虑月球自转的影响。求： （1）月球表面重力加速度g （2）月球的第一宇宙速度

（3）月球质量M

2h2hR2R2h解析：（1）g2；（2）v1；（3）M 22ttGt(1)根据自由落体运动，有

h解得

12gt 2g2h t2(2)月球的第一宇宙速度为近月卫星的运行速度，根据万有引力提供向心力，有

v12GMmm 2RR解得

v1gR2hR 2t(3)在月球表面的物体受到的重力等于万有引力，有

mg解得

GMm R22R2h M2Gt22．某人造地球卫星沿圆轨道运行，运行高度为400km，周期是5.6103s，（已知地球半径为00km，万有引力常量G6.6710（1）该人造卫星的线速度； （2）估算地球的质量。

解析：（1）7625m/s；（2）610kg （1）经分析可知

2411Nm2/kg2）求：

v2R TR=R地+h

解得该卫星的线速度

v=7625m/s

（2）由

GMm22m()R =2RTR=R地+h

M=61024kg

解得地球质量

23．我国载人航天计划于1992年正式启动以来，航天领域的发展非常迅速。假若几年后你成为一名宇航员并登上某未知星球，发现你在该未知星球赤道上时对地面的压力为你在极地点时对地面的压力的98%。你沿水平方向以大小为v0的速度抛出一个小球，发现小球经时间t落到星球表面上，且速度方向与星球表面间的夹角为θ，如图所示。已知该未知星球的半径为R，引力常量为G。求： (1)该未知星球表面的重力加速度g； (2)该未知星球的自转周期。

解析：（1）g2Rtv0tanπ；（2）T10 v0tanθt(1)小球做平抛运动

vygt

tan得该未知星球表面的重力加速度

vyv0

g(2)在两极时

v0tan tmg在赤道时，随星球做匀速圆周运动

GMm 2RGMm42mg98％m2R R2T解得，该未知星球的自转周期为

T10π2Rt v0tanθ24．2016年11月18日，“神舟十一号”飞船在指定区域成功着陆，这标志着我国载人航天工程空间实验室阶段任务取得了具有决定性意义的成果。此次任务中，“神舟十一号”和“天宫二号”空间实验室自动交会对接后形成组合体，如图所示。组合体在轨道上的运动可视为匀速圆周运动。已知组合体距地球表面的高度为h，地球半径为R，地球表面附近的重力加速度为g，引力常量为G。 (1)求地球的质量M。

(2)求组合体运行的线速度大小v。

ggR2解析：(1)；(2)R RhG(1)设一物体的质量为m1，在地球表面附近物体受到的万有引力近似等于重力，则有

m1gG解得

m1M R2gR2 MG(2)设组合体的质量为m2，根据万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得

m2Mv2Gm2 (Rh)2Rh联立解得

vRg Rh25．某宇航员到一个星球后想分析这个星球的相关信息，于是做了两个小实验：一是测量了该星球的一个近地卫星绕该星球做匀速圆周运动（不计空气阻力）飞行N圈用了时间t；二是将一个小球从星球表面竖直上抛，测出上升的最大高度为h，第一次上升的时间为t1，第一次下降的时间为t2。设小球运动中受到的空气阻力大小不变，万有引力常量为G，不计星球自转。求： (1)该星球的密度；

(2)该星球表面的重力加速度； (3)该星球的半径。

hh2t23N22解析：(1) ；(2) 22；(3) t1t2 2t1t2Gt224Nhh（1）近地卫星周期

Tt ① N卫星圆周运动的向心力由万有引力提供，由向心力公式得

mM42G2＝mR2 ② RT由密度定义

=解得

M ③ 4R333N2 ④ =2Gt（2）上升过程，由牛顿第二定律得

mg+f=ma1 ④

由位移公式得

h下降过程，由牛顿第二定律得

12a1t1 ⑤ 2mg-f=ma2 ⑥

由位移公式

12ha2t2 ⑦

2解得

ghh ⑧ t12t22（3）在球星表面附近时，不计星球自转，万有引力等于重力，有

Mmmg ⑨ R2由③④⑧⑨式解得，该星球的半径为

Ghh222ttt R12224N26．我国北斗卫星导航系统有五颗同步卫星，如果地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g．求： (1)第一宇宙速度v1； (2)同步卫星距地面的高度h． 解析：（1）v1gR （2）h3gR2T2R 24（1）第一宇宙速度等于地球表面附近圆轨道运动的卫星的线速度，由万有引力提供向心力

mv12可知mg，解得

Rv1gR；

（2）同步卫星的周期与地球自转周期相同，由万有引力提供向心力可得

GMm22m()(Rh)，

(Rh)2TGMmmg，解得 地球表面上的物体有2Rh3gR2T2R 2427．宇航员在某星球表面让一个小球以初速v0做竖直上抛运动，经过时间t小球落到星球表面。

(1)求该星球表面附近的重力加速度g星；

(2)已知该星球的半径为R，万有引力常量为G，求该星球的质量M。

(3)已知该星球的半径为R，要使物体不再落回星球表面，沿星球表面平抛出的速度至少应是多少？

2v02v0R2v0R2解析：(1)；(2)；(3) ttGt(1)再落回星球表面时的速度大小仍为v0，整个过程是匀变速运动

t解得

2v0 g星2v0① tg星(2)在星球表面物体所受万有引力等于物体所受重力。

GMmmg星 R2由①②可得

2v0R2 MGt(3)在星球表面物体的重力提供绕地球做匀速圆周运动的向心力

mv2 ③ mg星R由①③联立得

v2v0R t28．宇航员站在某一星球距其表面h高度处，以某一速度沿水平方向抛出一个小球，落地时竖直方向的速度大小为v，已知该星球的半径为R，引力常量为G，求该星球的质量和密度？

v2R23v2解析：M；

2hG8GRh根据

v22gh

解得，该星球表面重力加速度

v2 g2h又根据

GMmmg 2可得，星球质量

又由于

可得，星球密度

RMv2R22hG =MVM433R3v28GRh