复变函数自测题

一、判断题（正确打√，错误打）

1.复数76i13i. （  ） 2.f(z)uiv在z0x0iy0点连续的充分必要条件是u(x,y),v(x,y)在

(x0,y0)点连续。 （ √ ）

223.参数方程ztti （t为实参数）所表示的曲线是抛物线yx.

(  )

4.若u(x,y)和v(x,y)可导，则f(z)uiv也可导。 （  ） 5.

sinz1. （  ）

6.若u,v都是调和函数，则f(z)uiv是解析函数。 （  ） 7.设

znxniyn，则级数

zn0n收敛的充要条件是级数

xn0n与

yn0n都收

敛。 （ √ ） 8.若幂级数n19.若

anzn在z2i处收敛，则它必在z1处收敛。 （ √ ）

，且g(z)在z0点解析，则z0必是f(z)的m极零点。

f(z)(zz0)mg(z)(  )

1(1)n(z2)n21z210.已知(z1)(z2)n0在内成立，由式中

1Res,20c10知，(z1)(z2). （  ）

二、填空题

31.方程z270的根为zk3(cos2k3isin2k3),k0,1,2.

2.设z12i,z21i，则Arg(z1z2)=42k,k0,1,2,.

i(1i)e(42k)(cosln2isinln2),k0,1,2,. 3.

1224.设C为从点z1i到点z20的直线段，则Czdz1dzz2C5.若C为正向圆周，则z0. 12.

6.若C为正向圆周7.若

z1ln(z2)(z，则

C21)cos(z51)dz 0 .

2z2z1f()dzzz2，

2，则f(35i)0,f(1)8if'(1)10in(zi)nn8.幂级数n12的收敛圆的中心为 i ,收敛半径为 2 .

coszf(z)2cn(zi)nz(zi)的罗朗级数展开式为n9..设，则其收敛圆环域

为 (C) (A) (C)

1zi0zi1； (B)

1zi21z10z1或

1z；

或； (D)

0zi1 .

10. z01为函数(z1)e的 (D)

(A) 二级零点；（B） 一级极点； (C) 可去奇点； (D) 本性奇点。 三、计算、证明题

21．论函数f(z)(xy)2(xy)i在何处可导，何处解析，并求其可导

点处的导数。 解：设u(xy)2,v2(xy)，则u,v均为全平面上的可微函数。

uuvv2(xy),2(xy),2,2 xyxy但柯西—黎曼方程只在直线x直线x因此函数f(z)uivy1上成立，只在

y1上可导，在全平面内处处不解析；它在直线xy1上的

导数为f(z)uxiv2(1i)。▊ x2．设点A，B分别为z1i和z21i，试计算Czdz2的值，其中C为

（1）点z0到点z2的直线段；（2）由点z0沿直线到z1再到z2的折线段OAB.

解：已经在课堂上评讲过，略。

1ezdz3C3．计算积分2iz(1z)，(1)当点0在C内，点1在C外；(2)当

点1在C内，点0在C外；(3)当点0，1均在C内；(4)当点0，1均在C外。

解：已经在课堂上评讲过，略。

324．证明u(x,y)y3xy为调和函数，再求其共轭函数v(x,y)，并写出

f(z)uiv 关于z的表示式。

解：已经在课堂上评讲过，略。

f(z)5．将(1)

0z11z(1z)2分别在下列圆环域内展成罗朗级数

； (2)

1z1|1

.

解：（1）圆环域0|zf(z)

111z1zz(1z)211zz2znz 112z3z2nzn1z123znzn2z （2） 圆环域 1|z1|

f(z)111z(1z)2(z1)2z1111121z1(z1)1z1

n(1)1111z1(z1)2(z1)n(z1)3(1)n111(z1)3(z1)4(z1)5(z1)n36．下列函数在有限孤立奇点处的留数： （1）

f(z)1coszz1f(z)z2; （2）z22z.

解：已经在课堂上评讲过，略。 7. 计算下列积分 （1）0解：(1)

21d53sin；（2）0x2dx. 1x40211dzz21iz532iz2i2iRes,3z210iz3312i4i21d53sinC:|z|1C:|z|13z210iz3dz

2(2)已经在课堂上评讲过，略。