2017成考专升本高等数学(二)试题

一、选择题(1～10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

x21（） 1. limx1x1A.0 B.1 C.2 D.3

x1x1x21limlimx12. C limx1x1x1x1x12. 设函数fx在x1处可导，且f12，则limx0f1xf1（）

xA.-2

1B. 2C.

1 2

D.2

f1xf1f1xf1limf12. A limx0x0xxπ3. 设函数fxcosx,则f=（）

2A.-1 B.- C.0 D.1

πA 因为fxcosx,fxsinx,所以fsin1.

221 24. 设函数fx在区间a,b连续且不恒为零，则下列各式中不恒为常数的是（） A.fa

B.

fxdx

abfx C.limxbxD.

ftdta

D 设fx在a,b上的原函数为Fx.A项，fa0；B项，

bfxdxFbFa0；C项，limfxFb0；D项，

xbaxftdtfx.故A、B、C项恒为常数，D项不恒为常数.

axdx5. （）

3A. 3xC 3B. xC

2x3CC. 3

xC2D.

x32Cxdx3C .

6. 设函数fx在区间a,b连续，且Iufxdxftdt，aub,则

aauuIu（）

A.恒大于零

B.恒小于零 C.恒等于零 D.可正，可负

C 因定积分与积分变量所用字母无关，故

Iufxdxftdtfxdxfxdxfxdx0.

aaauauuuaa7. 设函数zlnxy,则A.0

zx1,1（）.

B.

1 2C.ln2 D.1

B 因为zlnxy,

zz1,所以xxyxz=（）. y1,11. 28. 设函数zx3y3，则A. 3x2 B. 3x23y2

y4C.

4D. 3y2

D 因为zx3y3,所以

𝑒?2z

z=3y2. y9. 设函数z=x𝑒，则?x?y=（）. A. 𝑒 B．𝑒 C．x𝑒 D．y𝑒

B 因为z=x𝑒，则?x=e, ?x?y=𝑒.

y

𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒?z

?2z

𝑒10. 设事件A,B相互，A,B发生的概率分别为0.6，0.9，则A,B都不发生的概率为（）. C.0.1 D.0.4

B 事件A,B相互，则A,B也相互，故P(AB)=P(A)P(B)=(1-0.6)×(1-0.9)=0.04. 二、填空题（11～20小题，每小题4分，共40分)

11.函数fx5的间断点为x=________. x11 fx在x=1处无定义，故fx在x=1处不连续，则x=1是函数fx的间断点.

12.设函数f(x)={

lnx,𝑒≥1，

在x1处连续，则a=________.

a−x,𝑒<11 limfxlimaxa1,因为函数fx在x1处连续，故x1x1x1limfxf1ln10,即a-1=0,故a=1.

13.limsin2x=________.

x03x2sin2x2cos2x2lim lim

x0x0 3.33x314. 当x→0时，fx与sin2x是等价无穷小量，则limfx1 1 由等价无穷小量定义知，limx0sin2x.

fx=________.

x0sin2x15. 设函数ysinx,则y=________.

cosx

因为ysinx，故ycosx,ysinx,ycosx.

16.设曲线y=ax2+2x在点（1，a+2）处的切线与直线y=4x平行，则a=________. 1 因为该切线与直线y=4x平行，故切线的斜率k=4,而曲线斜率y′(1)=2a+2,故2a+2=4,即a=1. 17. 2xedx________.

eC 2xedxedx2exC.

x2x2x2x2218.

π20esinxcosxdx ________.

π20sinxe-1 e19.

cosxdxeπ20sinxdsinxeπsinx20 =e-1.

01dx________. 21xaaπ11π dxlimdxlimarctanxlimarctana2200aaa2 1x01x2.

20. 设函数zexy,则dz=________.

exdxdy dz

zzdxdyexdxdy. xy三、解答题（21～28题，共70分.解答应写出推理、演算步骤)

21.(本题满分8分) 计算lim1x.

x02x1lim1x＝lim１＋xxe2x0. 解: x02x222.(本题满分8分)

设函数y=sinx2+2x,求dy.

解:因为yx2cosx222xcosx22, 故dy2xcosx22dx. 23.(本题满分8分) 计算lnxdx.1e

解:lnxdxxlnxxdlnx1 1124.(本题满分8分)

设yyx是由方程eyxy1所确定的隐函数，求解:方程eyxy1两边对x求导，得

eeedy. dxeydydyyx0. dxdxdyyy. dxex于是

25.（本题满分8分）

已知离散型随机变量X的概率分布为 0 1 0.2 0.1 (1)求常数a； 2 0.3 3 (2)求X的数学期望E(X)和方差D(X). 解: (1)因为0.2+0.1+0.3+a=1,所以a=0.4. (2) E(X)=0×0.2+1×0.1+2×0.3+3×0.4

=1.9.

D(X)01.90.211.90.121.90.331.90.4 =1.29.

26.（本题满分10分）

22221求函数fxx34x1的单调区间、极值、拐点和曲线yfx的凹凸区间.

3解:函数的定义域为（-∞,+∞）. 令y0.,得x2.

y0,得x=0.（如下表所示）

（-∞,-2） -2 + 0 - （-2,0） 0 - - 0 （0,2） 2 - 0 + （2,+∞） + + 为极大值19y23 为极小值13y23 函数fx的单调增区间为(-∞,-2),(2,+∞), 函数fx的单调减区间为（-2,2）, 曲线的拐点坐标为（0,1）, 曲线的凸区间为（-∞,0）, 曲线的凹区间为（0，+∞）. 27.（本题满分10分）

求函数fx,yx2y2在条件2x3y1下的极值． 解:作辅助函数

x2y22x3y1．

Fx2x20,令Fy2y30, F2x3y10,得x232,y,. 131313231因此，fx,y在条件2x3y1下的极值为f,.

13131328.（本题满分10分）

设曲线y4x2 (x≥0)与x轴，y轴及直线x=4所围成的平面图形为D．（如图中阴影部分所示）. （1）求D的面积S.

（2）求图中x轴上方的阴影部分绕y轴旋转一周所得旋转体的体积V. 解: (1)面积S4x2dx4x2dx

0224(2)体积Vπx2dy

048π.